EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   [ q G*]ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

[ q G*] ==G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. 

[ q G*] = energia quântica Graceli.

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade de variável aleatória discreta que expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento.

A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

${\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde

• e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
• k! é o fatorial de k,
• λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5.

Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

Processo de Poisson

Ver artigo principal: Processo de Poisson

A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteroides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.

Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.

Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:

${\displaystyle P[N(t)=K]={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!}},\,\!}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo).

Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.

Propriedades

Média

O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a λ. Esta propriedade pode ser derivada facilmente^[1]:

	Em linguagem matemática	Em Português
	${\displaystyle E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\mathbb {P} \left[X=k\right]}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	Por definição, a esperança de uma variável aleatória X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam.
	${\displaystyle E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!\right]}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorra é calculado por :${\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$. Portanto, este valor foi substituído na fórmula.
	${\displaystyle E\left[X\right]={\begin{matrix}\underbrace {0\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{0}}{0!}},\,\!\right]} \\k=0\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {1\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{1}}{1!}},\,\!\right]} \\k=1\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {2\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{2}}{2!}},\,\!\right]} \\k=2\end{matrix}}+...}$/G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever ${\displaystyle E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]=\sum _{k=1}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]}$
	Como ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda \left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right]}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo.
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda \sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right]}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	Tomamos a substituição acima e tiramos a constante ${\displaystyle \lambda }$ para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à ${\displaystyle \lambda *1}$.
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\lambda ^{k}}{(k)!}}\right]}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	Nova transformação para facilitar os cálculos...
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }}$ ${\displaystyle \left[{\frac {\lambda ^{0}}{(0)!}}+{\frac {\lambda ^{1}}{(1)!}}+{\frac {\lambda ^{2}}{(2)!}}+{\frac {\lambda ^{3}}{(3)!}}+...\right]}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para ${\displaystyle e^{\lambda }}$
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	Obtemos ${\displaystyle e^{-\lambda }e^{\lambda }=e^{0}=1}$
	${\displaystyle E\left[X\right]=\lambda }$ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..	Como queríamos demonstrar

Variância (${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$, ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ ou ${\displaystyle \sigma ^{2}}$) /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A variância de uma distribuição de Poisson é igual a ${\displaystyle \lambda }$, como podemos demonstrar.

Sabendo que ${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}$ e ${\displaystyle {E}(X)=\lambda }$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Calculamos o segundo momento ${\displaystyle {E}(X^{2})}$, para uma variável aleatória discreta:

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\,\!\right]}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. Expandindo o somatório

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]=1^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{1}}{1!}}\,\!\right]+2^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{2}}{2!}}\,\!\right]+3^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{3}}{3!}}\,\!\right]+...+n^{2}\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}\,\!\right]}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\left[{e^{-\lambda }\lambda ^{1}}\right]+2\left[{e^{-\lambda }\lambda ^{2}}\right]+3\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{3}}{2!}}\,\!\right]+...+n\left[{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{(n-1)!}}\,\!\right]}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. Colocando  e  em evidência

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }}{\lambda }{\biggl [}1+2{\lambda }+3{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}+...+n{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}{\biggr ]}}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{n=1}^{\infty }n\left[{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}\right]}$ fazendo ${\displaystyle n-1=k}$ e ${\displaystyle n=k+1}$ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\left[k+1\right]}\left[{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right]}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\left[{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right]}}$ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\sum _{k=0}^{\infty }{{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}}\right]}$ Série de /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  Taylor Função Exponencial  converge para 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\sum _{k=0}^{\infty }{{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+e^{\lambda }}\right]}$ Expandindo o somatório /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[{{0{\frac {\lambda ^{0}}{0!}}}+{1{\frac {\lambda ^{1}}{1!}}}+{2{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}}+{3{\frac {\lambda ^{3}}{3!}}}+...+{k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}+e^{\lambda }}\right]}$ Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[{{\lambda }+{\lambda ^{2}}+{\frac {\lambda ^{3}}{2!}}+...+{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}+e^{\lambda }}\right]}$ Colocando ${\displaystyle \lambda }$ em evidência /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {\biggl (}{{1}+{\lambda }+{\frac {\lambda ^{2}}{2!}}+...+{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}{\biggr )}+e^{\lambda }}\right]}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}}+e^{\lambda }}\right]}$ fazendo ${\displaystyle k-1=n}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }\left[\lambda {{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}}+e^{\lambda }}\right]}$ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. Série de Taylor Função Exponencial  converge para G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }\lambda }{\biggl [}\lambda {e^{\lambda }+e^{\lambda }}{\biggr ]}}$ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={e^{-\lambda }}{\lambda ^{2}}{e^{\lambda }}+{e^{-\lambda }{\lambda }{e^{\lambda }}}}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle E\left[X^{2}\right]={\lambda ^{2}}+{\lambda }}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Substituindo ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$ e ${\displaystyle {E}(X)}$ em ${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\lambda ^{2}}+{\lambda }-{\lambda ^{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\lambda }}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Soma de variáveis

A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\,}$ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro ${\displaystyle \lambda _{i}\,}$ e as variáveis aleatórias ${\displaystyle X_{i}}$ são estatisticamente independentes, então

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à soma dos ${\displaystyle \lambda _{i}\,}$.

Por exemplo, ${\displaystyle X_{1}}$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e ${\displaystyle X_{2}}$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média ${\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\lambda _{i}=1,2+3=4,2}$. /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Intervalo de confiança

Um método rápido e fácil para calcular um intervalo de confiança de aproximada de λ, é proposto na Guerriero (2012).^[2] Dado um conjunto de eventos k (pelo menos 15 - 20) ao longo de um período de tempo T, os limites do intervalo confiança para a frequência são dadas por:

${\displaystyle F_{low}=(1-{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}){\frac {k}{T}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle F_{upp}=(1+{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}){\frac {k}{T}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

em seguida, os limites do parâmetro ${\displaystyle \lambda }$ são dadas por: ${\displaystyle \lambda _{low}=F_{low}T;\lambda _{upp}=F_{upp}T}$. /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Ondas harmônicas

Uma onda harmônica é uma onda com a forma de uma função senoidal, como na figura, no caso de uma onda que se desloca no sentido positivo do eixo dos ${\displaystyle x}$.

A distância ${\displaystyle \lambda }$ entre dois pontos consecutivos onde o campo e a sua derivada têm o mesmo valor, é designada por comprimento de onda (por exemplo, a distância entre dois máximos ou mínimos consecutivos). O valor máximo do módulo do campo, ${\displaystyle E_{0}}$, é a sua amplitude.

Onda Harmônica

O tempo que a onda demora a percorrer um comprimento de onda designa-se por {período}, ${\displaystyle T}$.

O inverso do período é a frequência ${\displaystyle f=1/T}$, que indica o número de comprimentos de onda que passam por um ponto, por unidade de tempo. No sistema SI a unidade da frequência é o hertz, representado pelo símbolo Hz, equivalente a ${\displaystyle s^{-1}}$.

No caso de uma onda eletromagnética no vácuo, a velocidade de propagação é ${\displaystyle c}$ que deverá verificar a relação:

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{T}}=\lambda \,f}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A equação da função representada na figura acima é:

${\displaystyle E(x)=E_{\text{máx}}\,\sin(2\,\pi \,{\frac {x}{\lambda }}+\varphi )}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde a constante ${\displaystyle \varphi }$ é a fase inicial. Essa função representa a forma da onda num instante inicial, que podemos admitir ${\displaystyle t=0}$.

Para obter a função de onda num instante diferente, teremos que substituir ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle x-c\,t}$, já que a onda se propaga no sentido positivo do eixo dos ${\displaystyle x}$, com velocidade ${\displaystyle c}$.

${\displaystyle E(x,t)=E_{\text{máx}}\,\sin {\Bigg [}{\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,(x-c\,t)+\varphi {\Bigg ]}}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

usando a relação entre a velocidade e o período, podemos escrever:

${\displaystyle E(x,t)=E_{\text{máx}}\,\sin {\Bigg (}2\,\pi {\Bigg (}{\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{T}}{\Bigg )}+\varphi {\Bigg )}}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Se substituirmos ${\displaystyle x=0}$, obteremos a equação que descreve o campo elétrico na origem, em função do tempo:

${\displaystyle E(t)=-E_{\text{máx}}\,\sin {\Bigg (}2\,\pi \,{\frac {t}{T}}+\varphi {\Bigg )}}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

assim, o campo na origem é uma função sinusoidal com período ${\displaystyle T}$ e amplitude ${\displaystyle E_{\text{máx}}}$. O campo em outros pontos tem exatamente a mesma forma sinusoidal, mas com diferentes valores da fase.^[4]